Hoe vaak komt troel voor op Whisthub?

Zondag 22 juni 2025

Wanneer iemand bij het wiezen of kleurenwiezen 3 of meer azen toebedeeld krijgt, wordt deze spelsituatie troel genoemd. De speler in kwestie is dan verplicht om dit aan aan te kondigen en wordt automatisch gekoppeld aan de speler met de vierde aas (of in geval van vier azen, de speler met ♥K enzovoort), en er zijn maar een beperkt aantal contracten die nog boven troel gaan. Meer info hierover, vindt u in de spelregels van kleurenwiezen en wiezen.

Door dit gedwongen karakter, is troel echter niet heel populair bij de meeste spelers. Zeker bij kleurenwiezen is het biedproces met het vinden van een geschikte partner een van leukste aspecten van het spel, en troel doorbreekt dit, meestal dan nog eens met een contract voor 8 of 9 slagen dat eenvoudig te winnen is. Omdat troel zo onpopulair is, is er bij kleurenwiezen voor premium spelers dan ook de mogelijkheid om te spelen zonder troel, zodat zelfs met drie of meer azen er gewoon kan opgeboden worden.

Ik krijg echter regelmatig klachten dat troel op Whisthub veel vaker zou voorkomen dan in "het echt", en het feit dat premium spelers troel kunnen uitzetten voedt waarschijnlijk dit vermoeden omdat het zogezegd een vuile truc zou zijn om meer spelers te doen betalen. Voor eens en voor altijd: dit is niet waar. De kaarten op Whisthub worden gedeeld zoals ze in het echt ook gedeeld zouden worden.

Om dit te bewijzen, is het nuttig om eens te kijken naar wat de kans is dat iemand drie of vier azen toebedeeld krijgt. De wiskunde hierachter is niet eenvoudig, dus laat ons eerst kijken wat de kans is dat u zelf drie of vier azen toebedeeld krijgt wanneer de kaarten volledig willekeurig zouden gedeeld worden. Voor wie nog combinatoriek kent uit de lessen wiskunde, dit kan berekend worden met behulp van binomiaalcoëfficiënten als

P \left( n_A \geq 3 \right) = \frac{ \displaystyle \binom{4}{3} \binom{48}{10} + \binom{4}{4} \binom{48}{9} }{ \displaystyle \binom{52}{13} } = 4,38 \%

Met andere woorden, de kans dat u zelf drie of vier azen toebedeeld krijgt, is in elk spel een dikke 4%. Dit lijkt een pak minder dan de frequentie van troel op Whisthub, en dat is ook zo! Het is immers niet enkel troel als u zelf drie of meer azen hebt, maar ook wanneer iemand anders drie of meer azen heeft! De kans van 4% op troel moet dus eigenlijk nog met 4 vermenigvuldigd worden, want er zijn 4 spelers! M.a.w. is de kans op troel per spel 16%, oftewel eens per 6 giften, veel meer in lijn met wat de spelers op Whisthub ervaren!

Echte wiskundigen zullen opmerken dat dit echter niet correct is, en dat klopt. De kansen zijn immers niet onafhankelijk: als speler A drie azen heeft, dan weten we dat geen enkele andere speler ook nog drie azen kan hebben. Je mag dus niet zomaar de kans van 4% met 4 vermenigvuldigen, maar toch is het een goede benadering omdat de kans klein is.

Zoals gezegd is de exacte berekening van de kans veel ingewikkelder, maar een andere manier om de kans te berekenen is d.m.v. simulaties met een computer. De code hiervoor in JavaScript is relatief simpel:

// Deze functie schudt de kaarten volledig willekeurig volgens het algoritme 
// van Fisher-Yates (https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%E2%80%93Yates_shuffle)
function shuffle(cards) {
	let m = cards.length;
	while (m > 0) {
		let i = Math.floor(Math.random() * m--);
		let t = cards[m];
		cards[m] = cards[i];
		cards[i] = t;
	}
}

// Deze functie simuleert een gift, telt per speler hoeveel azen de speler 
// heeft, en geeft dan als waarde terug of het troel is of niet.
function isTrull() {
	const cards = [];
	for (let i = 1; i <= 13; i++) cards.push(i, i, i, i);
	shuffle(cards);
	const aces = [0, 0, 0, 0];
	for (let player = 0; player < 4; player++) {
		for (let i = 0; i < 13; i++) {
			if (cards[13*player+i] === 1) {
				aces[player]++;
			}
		}
	}
	return Math.max(...aces) >= 3;
}

// Deze functie telt hoe vaak troel voorkomt op 1.000.000 giften, en geeft deze 
// waarde terug als percentage.
function simulate(n = 1e6) {
	let counter = 0;
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		counter += isTrull() ? 1 : 0;
	}
	return counter/n * 100;
}

Als we nu simulate() uitvoeren, dan krijgen we als resultaat de kans dat een spel waarbij de kaarten willekeurig gedeeld werden troel is

P\left( \text{troel} \right) \approx 17,5 \%

of met andere woorden, statistisch gezien resulteert 1 op 6 giften in troel, op voorwaarde dat de kaarten volledig willekeurig gedeeld worden! Als u dit niet gelooft, kunt u de simulaties hieronder zelf uitvoeren. De teller $n$ geeft aan hoeveel giften er reeds gesimuleerd werden, met daarnaast het percentage van deze giften dat resulteert in troel. De teller heeft geen maximum, dus u kunt de simulaties zo lang laten lopen als u wil. Eén ding is echter zeker: de kans convergeert steeds naar ongeveer 17,5%!

n = 0

0,00 %

Zoals uitgebreid uitgelegd in deze blogpost worden de kaarten echter niet zomaar willekeurig gedeeld, maar zijn deze afhankelijk van het vorige spel. De kans van 17,5% zoals hierboven berekend is dus eigenlijk niet correct. Om na te gaan hoe vaak troel dus echt voorkomt op Whisthub, is er maar 1 mogelijkheid, en dat is de frequentie berekenen op basis van alle spelletjes die ooit zijn gespeeld op Whisthub.

Op datum van schrijven, werden er op Whisthub reeds 6.605.638 spelletjes kleurenwiezen gespeeld waarbij troel niet uitgeschakeld werd in de spelregels. Van deze 6,6 miljoen spelletjes was het 844.149 keer troel, m.a.w. 12,7%, oftewel één op 8 spelletjes met troel. Dat betekent dus dat de manier waarop de kaarten op Whisthub gedeeld worden ervoor zorgt dat het minder vaak troel is dan bij volledig willekeurig delen!

Geloof het of niet, maar dat zijn dus de cijfers. Nochtans heb ik zelf ook wel eens de indruk dat troel op Whisthub vaker voorkomt dan in het echt, net zoals veel spelers. Hoe komt dat dan? Ik heb hier niet meteen een verklaring voor, al denk ik dat de voornaamste reden is dat de kaarten op Whisthub door de computer gedeeld worden. Dat zorgt ervoor dat er meer spelletjes per uur kunnen gespeeld worden dan in het echt, omdat het delen in het echt toch vaak een minuut of 2 in beslag neemt, zeker als er nog wat nagepraat wordt over de kaarten. Als je met vrienden speelt in het echt komt het ook wel eens voor dat er over koetjes en kalfjes gepraat wordt, waardoor het spel wat trager gaat. M.a.w. is de frequentie aan troels dus wel gelijk, maar voelt dit op Whisthub hoger aan omdat er meer troels per uur voorkomen!

Dit is natuurlijk maar een gok. Sowieso geldt ook dat mensen achterdochtiger zijn over de kaarten wanneer ze niet zien hoe ze precies gedeeld worden (wat op Whisthub het geval is). Dat is eerder een psychologisch aspect waar zonder twijfel boeken over vol geschreven kunnen worden.

De moraal van het verhaal is echter dit:

Het aantal troels op Whisthub wordt niet gemanipuleerd, en is door de manier van delen met 12,7% zelfs lager dan wanneer er volledig willekeurig gedeeld zou worden.