À quelle fréquence le trou se produit-il sur Whisthub ?

Dimanche 22 juin 2025

Lorsqu'un joueur reçoit 3 as ou plus dans le wiezen ou le whist à la couleur, cette situation de jeu est appelée trou. Le joueur concerné est alors obligé de l'annoncer et est automatiquement associé au joueur possédant le quatrième as (ou, dans le cas de quatre as, au joueur possédant le ♥K, etc.), et seul un nombre limité de contrats peuvent encore le dépasser. Plus d'informations à ce sujet sont disponibles dans les règles du whist à la couleur et de wiezen.

En raison de cette contrainte, l'atout n'est pas très populaire auprès de la plupart des joueurs. Avec le whist, le processus d'enchères pour trouver un partenaire approprié est l'un des aspects les plus amusants du jeu, et le trou le franchit, généralement avec un contrat de 8 ou 9 plis facile à gagner. Comme le trou est si impopulaire, le whist offre aux joueurs premium la possibilité de jouer sans trou, de sorte que même avec trois as ou plus, les enchères restent possibles.

Cependant, je reçois régulièrement des plaintes selon lesquelles le trou se produit beaucoup plus fréquent sur Whisthub que dans la « vraie vie », et le fait que les joueurs premium puissent le désactiver alimente probablement ces soupçons, car il s'agirait d'une arnaque visant à inciter davantage de joueurs à payer. Une fois pour toutes : ceci n'est pas vrai. Les cartes sur Whisthub sont distribuées comme elles le seraient dans la vraie vie.

Pour le prouver, il est utile d'examiner la probabilité que quelqu'un reçoive trois ou quatre as. Le calcul n'est pas simple, alors examinons d'abord la probabilité que vous receviez trois ou quatre as si les cartes étaient distribuées de manière totalement aléatoire. Pour ceux qui se souviennent encore de la combinatoire de leurs cours de maths, on peut calculer cela à l'aide des coefficients binomiaux :

P \left( n_A \geq 3 \right) = \frac{ \displaystyle \binom{4}{3} \binom{48}{10} + \binom{4}{4} \binom{48}{9} }{ \displaystyle \binom{52}{13} } = 4,38 \%

En d'autres termes, la probabilité que vous receviez trois ou quatre as est de 4 % dans n'importe quelle partie. Cela semble bien moins que la fréquence de trou sur Whisthub, et c'est le cas ! Après tout, ce n'est pas seulement trou si vous avez trois as ou plus, mais aussi si quelqu'un d'autre en a trois ! La probabilité de 4 % de trou devrait en fait être multipliée par 4, car il y a 4 joueurs ! En d'autres termes, la probabilité d'obtenir trou par partie est de 16 %, soit une fois tous les 6 donnes, ce qui correspond bien plus à ce que les joueurs de Whisthub constatent !

Les vrais mathématiciens remarqueront que ce n'est pas correct, et c'est vrai. Après tout, les probabilités ne sont pas indépendantes : si le joueur A a trois as, alors nous savons qu'aucun autre joueur ne peut également en avoir trois. On ne peut donc pas simplement multiplier la probabilité de 4 % par 4, mais cela reste une bonne approximation car la probabilité est faible.

Comme mentionné précédemment, le calcul exact de la probabilité est beaucoup plus complexe, mais une autre façon de calculer la probabilité est d'utiliser des simulations informatiques. Le code JavaScript est relativement simple :

// Cette fonction mélange les cartes de manière totalement aléatoire selon 
// l'algorithme de Fisher-Yates (https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%E2%80%93Yates_shuffle)
function shuffle(cards) {
	let m = cards.length;
	while (m > 0) {
		let i = Math.floor(Math.random() * m--);
		let t = cards[m];
		cards[m] = cards[i];
		cards[i] = t;
	}
}

// Cette fonction simule une donne, compte le nombre d'as par joueur et donne 
// une valeur indiquant s'il s'agit d'un trou ou non.
function isTrull() {
	const cards = [];
	for (let i = 1; i <= 13; i++) cards.push(i, i, i, i);
	shuffle(cards);
	const aces = [0, 0, 0, 0];
	for (let player = 0; player < 4; player++) {
		for (let i = 0; i < 13; i++) {
			if (cards[13*player+i] === 1) {
				aces[player]++;
			}
		}
	}
	return Math.max(...aces) >= 3;
}

// Cette fonction compte le nombre de fois où trou se produit sur 1 000 000 
// donnes et donne cette valeur sous forme de pourcentage.
function simulate(n = 1e6) {
	let counter = 0;
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		counter += isTrull() ? 1:0;
	}
	return counter/n * 100;
}

Si nous exécutons maintenant la fonction simulate(), nous obtenons la probabilité qu'une partie où les cartes ont été distribuées aléatoirement résulte en trou.

P\left( \text{trou} \right) \approx 17,5 \%

En d'autres termes, statistiquement, 1 donne sur 6 résulte en trou, à condition que les cartes soient distribuées complètement aléatoirement ! Si vous n'êtes pas convaincu, vous pouvez effectuer vous-même les simulations ci-dessous. Le compteur $n$ indique le nombre de donnes déjà simulés, ainsi que le pourcentage de ces donnes qui résultaient en trou. Le compteur n'a pas de maximum, vous pouvez donc laisser les simulations se dérouler aussi longtemps que vous le souhaitez. Une chose est sûre, cependant : la probabilité converge toujours vers environ 17,5 % !

n = 0

0,00 %

Comme expliqué en détail dans cet article de blog, les cartes ne sont pas distribuées aléatoirement, mais dépendent de la partie précédente. La probabilité de 17,5 % calculée ci-dessus est donc erronée. Pour déterminer la fréquence réelle du trou sur Whisthub, il n'existe qu'une seule possibilité : calculer la fréquence en se basant sur toutes les parties jouées sur Whisthub.

À la date de rédaction de cet article, 6 605 638 parties de whist à la couleur ont déjà été jouées sur Whisthub dans lesquelles le trou n'était pas éliminé selon les règles. Sur ces 6,6 millions de parties, 844 149 étaient un trou, soit 12,7 %, soit une partie sur huit avec trou. Cela signifie que la façon dont les cartes sont distribuées sur Whisthub garantit moins de trous qu'avec une distribution totalement aléatoire !

Croyez-le ou non, mais ce sont les chiffres. Cependant, même moi, j'ai parfois également l'impression que les trous sont plus fréquents sur Whisthub que dans la vraie vie, comme beaucoup de joueurs. Comment est-ce possible ? Je n'ai pas d'explication immédiate, mais je pense que la raison principale est que les cartes sur Whisthub sont distribuées par l'ordinateur. Cela permet de jouer plus de parties par heure que dans la vraie vie, car la distribution prend souvent une minute ou deux, surtout si l'on discute des cartes. Lorsque vous jouez avec des amis dans la vraie vie, il arrive aussi qu'il y ait des banalités, ce qui ralentit un peu le jeu. En d'autres termes, la fréquence des trous est la même, mais elle semble plus élevée sur Whisthub car il y en a plus par heure !

Bien sûr, ce n'est qu'une supposition. Quoi qu'il en soit, les gens se méfient davantage des cartes lorsqu'ils ne voient pas exactement comment elles sont distribuées (ce qui est le cas sur Whisthub). Il s'agit davantage d'un aspect psychologique qui pourrait sans aucun doute faire l'objet de livres nombreuses.

La morale de l'histoire, cependant, est la suivante :

Le nombre de trous sur Whisthub n'est pas manipulé et est même plus faible (12,7 %) en raison de la distribution des cartes que si les cartes étaient distribuées de manière totalement aléatoire.